Antonio Rudiger marcó de cabeza en el minuto 83 para los 15 veces campeones, después de que Deniz Undav igualara el tanto inicial de Mbappé a los pocos segundos de la reanudación.
Endrick, otro debutante en la Liga de Campeones, cerró la victoria del Madrid con un disparo raso en el tiempo añadido.
Stuttgart tuvo la mejor de un período de apertura de entretenimiento, pero el equipo de Carlo Ancelotti tienen la costumbre de moler a cabo victorias cuando contra la pared y se llevaron los tres puntos a pesar de los esfuerzos de los visitantes impresionantes.
"Sufrimos al principio porque perdimos muchos duelos... lo importante era ganar y ganamos, así que todo está bien", dijo el entrenador del Madrid, Ancelotti.
"Siempre hay que luchar al principio de la temporada, cuando no estás en tu mejor momento".
Mbappé llegó a cinco goles en la temporada en siete apariciones en todas las competiciones al abrir el marcador cuando corrió al espacio al comienzo de la segunda mitad.
"Sé que puedo hacer más, cada partido me siento mejor y ahora estoy marcando goles, y estoy feliz aquí", dijo Mbappe a Movistar.
"(El partido fue) duro, pero es la Liga de Campeones, siempre es difícil, pero ganamos en casa, ganamos el primer partido", continuó.
"Lo que sabemos es que la Liga de Campeones ha cambiado y es importante ganar rápido para ver si podemos clasificarnos rápido o no".
Ancelotti seleccionó el lateral Dani Carvajal en la defensa central con Eder Militao no lo suficientemente en forma para empezar, mientras que Jude Bellingham y Aurelien Tchouameni regresó de una lesión para jugar en el centro del campo.
Al Madrid le ha faltado cierto equilibrio tras la retirada en verano del incondicional Toni Kroos, y el partido dio bandazos de un extremo a otro bajo las luces del Santiago Bernabéu.
El Stuttgart de la Bundesliga tuvo más el balón y las ocasiones más peligrosas en la primera parte, con Enzo Millot muy implicado.
El centrocampista francés disparó desviado en los primeros compases y obligó a Thibaut Courtois a despejar su peligroso disparo, la mejor de las paradas del belga.
En el otro extremo Mbappe tuvo dos tiros salvados por Alexander Nubel en su búsqueda de su primer gol en la Liga de Campeones para el Madrid.
Rodrygo tuvo un disparo desviado por poco, mientras que el Madrid se concedió un penalti cuando Maximilian Mittelstadt parecía atrapar Rudiger con un golpe torpe, pero el árbitro anuló la decisión después de una referencia VAR mostró que no hubo contacto.
Courtois frustrado Angelo Stiller y Undav golpeó el travesaño para Stuttgart, pero fueron derribados a la tierra en el inicio de la segunda mitad.
Mbappe abre el marcador
A los 21 segundos de la reanudación, Mbappe marcó, tras recibir un pase de Rodrygo. Y muchos lo vieron, todavía de camino a sus asientos desde los bares del Bernabéu.
El ex delantero del París Saint-Germain no pudo ganar el mayor premio del fútbol de clubes mientras jugaba en Francia y su deseo de levantar el trofeo coincide con la obsesión del Madrid por él.
El Stuttgart no se enteró y, después de que Vinicius estrellara un remate en el larguero, el conjunto alemán igualó la contienda.
Jamie Leweling se acercó a sí mismo con una ráfaga de intentos antes de enganchar un córner de vuelta en el área de peligro para Undav a la cabeza más allá de Courtois.
Ancelotti dio entrada al joven delantero brasileño de 18 años Endrick en los diez minutos finales, a la caza de un gol que permitiese a los defensores del título empezar con buen pie su defensa del trofeo.
El gol llegó rápidamente, pero no de la galaxia de estrellas atacantes del Madrid, sino del central Rudiger, que cabeceó a la red un saque de esquina de Luka Modric en el minuto 83.
Vinicius desaprovechó una ocasión de oro para sellar la victoria del Madrid, pero su compatriota Endrick no falló en su única oportunidad, perforando la meta rival desde el borde del área en el último suspiro.
El delantero optó por no pasar a sus compañeros más experimentados y disparó antes de tiempo, sorprendiendo al guardameta Nubel.
"Es un chico con mucha calidad y lo ha demostrado", añadió Courtois.
"Obviamente demostró personalidad al no pasar a Vini ni a Kylian y disparar allí él mismo".